高重合度与低重合度齿轮系统动力学分岔特性对比分析

.作者:李发家 朱如鹏 鲍和云 叶福民 靳广虎
.来源期刊:中南大学学报(自然科学版)2015年第2期
.中文关键字:高重合度;齿轮系统;动力学;分岔;稳定性
.英文关键字:high contact ratio; gear system; dynamics; bifurcation; stability
.中文摘要:针对高重合度齿轮和低重合度齿轮,采用有限元方法计算其啮合刚度;建立含齿侧间隙和时变刚度的齿轮系统的扭转振动模型,对模型啮合线位移解的分岔特性和跳跃性进行研究。研究结果表明:当忽略误差,仅考虑齿侧间隙的影响时,高重合度齿轮系统啮合线位移的解,连续平稳,不存在跳跃现象,低重合度齿轮系统啮合线的位移解,多处发生了跳跃现象;齿频误差激励在高速区域(无量纲转速Ω为1.1~2.1区域)其对低重合度齿轮的动力学影响要大于对高重合度齿轮的影响;随着偏心误差的增加,啮合线位移增加,系统的周期稳定性逐渐降低,偏心误差对普通齿轮的影响比高重合度齿轮的影响要大;在误差作用下,高重合度齿轮的周期稳定性要高于普通齿轮的周期稳定性,运行更加平稳,采用高重合度齿轮可以降低齿轮的振动和噪声。
.英文摘要:The nonlinear torsion vibration model of gear system was proposed. Backlashes and time-varying meshing stiffness were taken into consideration. The meshing stiffness of high contact ratio (HCR) and low contact ratio (LCR) gears was obtained by the finite element method. The bifurcation characteristics and jump phenomenon along the line of action were investigated. The results show that when the backlashes and errors are neglected, the displacement along action line of HCR gear system becomes steady and continuous, and without jump phenomenon. However, LCR displacement is broken into two regions. In the range 1.1≤Ω≤2.1, the meshing frequency error produces higher dynamic effect for LCR compared with HCR. With the increase of the eccentricity error and the displacement along the line of action, the system stability is decreased gradually and the eccentricity error has more important effect for LCR than HCR. More importantly, HCR gear system has higher stability and more smooth motion than LCR gears. Finally, HCR gear system can decrease the vibration and noise significantly.
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DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2015.02.013

高重合度与低重合度齿轮系统动力学分岔特性对比分析

李发家,朱如鹏,鲍和云,叶福民,靳广虎

(南京航空航天大学 机电学院,江苏省精密与微细制造技术重点实验室,江苏 南京,210016)

摘要:针对高重合度齿轮和低重合度齿轮,采用有限元方法计算其啮合刚度;建立含齿侧间隙和时变刚度的齿轮系统的扭转振动模型,对模型啮合线位移解的分岔特性和跳跃性进行研究。研究结果表明:当忽略误差,仅考虑齿侧间隙的影响时,高重合度齿轮系统啮合线位移的解,连续平稳,不存在跳跃现象,低重合度齿轮系统啮合线的位移解,多处发生了跳跃现象;齿频误差激励在高速区域(无量纲转速Ω为1.1~2.1区域)其对低重合度齿轮的动力学影响要大于对高重合度齿轮的影响;随着偏心误差的增加,啮合线位移增加,系统的周期稳定性逐渐降低,偏心误差对普通齿轮的影响比高重合度齿轮的影响要大;在误差作用下,高重合度齿轮的周期稳定性要高于普通齿轮的周期稳定性,运行更加平稳,采用高重合度齿轮可以降低齿轮的振动和噪声。

关键词:高重合度;齿轮系统;动力学;分岔;稳定性

中图分类号:TH113.1             文献标志码:A         文章编号:1672-7207(2015)02-0465-07

Contrastive analysis of dynamic bifurcation characteristics between high contact ratio and low contact ratio gears system

LI Fajia, ZHU Rupeng, BAO Heyun, YE Fumin, JIN Guanghu

(Jiangsu Key Laboratory of Precision and Micro-Manufacturing Technology, College of Mechanical and

Electrical Engineering, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

Abstract: The nonlinear torsion vibration model of gear system was proposed. Backlashes and time-varying meshing stiffness were taken into consideration. The meshing stiffness of high contact ratio (HCR) and low contact ratio (LCR) gears was obtained by the finite element method. The bifurcation characteristics and jump phenomenon along the line of action were investigated. The results show that when the backlashes and errors are neglected, the displacement along action line of HCR gear system becomes steady and continuous, and without jump phenomenon. However, LCR displacement is broken into two regions. In the range 1.1≤Ω≤2.1, the meshing frequency error produces higher dynamic effect for LCR compared with HCR. With the increase of the eccentricity error and the displacement along the line of action, the system stability is decreased gradually and the eccentricity error has more important effect for LCR than HCR. More importantly, HCR gear system has higher stability and more smooth motion than LCR gears. Finally, HCR gear system can decrease the vibration and noise significantly.

Key words: high contact ratio; gear system; dynamics; bifurcation; stability

高重合度(HCR)齿轮传动是重合度大于等于2的齿轮传动,同时啮合的轮齿对数较多,单对轮齿承受的载荷小,具有承载能力大、传动平稳等优点,因此,高重合度的齿轮传动备受关注。许多学者对齿轮传动的动力学特性进行了大量研究。Theodossiades等[1]对考虑时变刚度和传动误差的单自由度齿轮扭转模型的跳跃性和典型庞加莱截面进行了研究;Parker等[2]建立了两自由度齿轮动力学模型,分析了齿轮在不同转动频率下的传动误差的跳跃性;Saghafi[3]建立了两自由度齿轮模型,对系统全局分岔和混沌特性进行了研究;Tamminana等[4-6]分析了考虑轴承径向支承和齿侧间隙对三自由度直齿轮系统的非线性动力学特性影响;Wang等[7-8]学者采用有限元法对高重合度齿轮的齿间载荷分布、齿根弯曲应力和接触应力进行了计算,但未对高重合度齿轮的动力学特性进行研究;刘梦  军[9]建立含间隙的单对齿轮副非线性动力学模型,对模型的动态特性进行了研究;刘晓宁等[10]研究三自由度齿轮的稳定性、分岔类型;赵宁等[11]以重合度最大、体积最小、弯曲强度相等为目标对高重合度齿轮进行了优化,其研究未涉及动力学内容;渠珍珍等[12-13]对高重合度齿轮的实现和动态特性进行了分析研究,给出了高重合度行星齿轮的动态特性,但未对高重合度齿轮的分岔跳跃等特性进行研究;张祖芳等[14]对不同重合度的齿轮副运动进行了研究,求解了不同载荷和转速下的时域图、相图和频率图,未对高重合度齿轮的分岔特性进行研究;方宗德等[15]对高重合度齿轮的载荷分配,刚度计算和动态特性进行了计算和研究,给出大重合度直齿轮副的优化设计方法,同样未对高重合度齿轮系统周期稳定性和跳跃性进行研究。在此,本文作者采用有限元的方法计算高重合度齿轮和低重合度齿轮的啮合刚度,利用傅里叶级数拟合高重合度齿轮和低重合度齿轮的啮合刚度,对高重合度齿轮和低重合度齿轮的动力学分岔特性及跳跃性进行研究。

1  系统模型简化

仅考虑扭转振动的齿轮副扭转动力学模型如图1所示。图1中:Tp和Tg分别为主动齿轮Zp和从动齿轮Zg所受的扭矩;θp和θg分别为两齿轮的旋转自由度;Rp和Rg分别为主动齿轮和从动齿轮的基圆半径;b为齿侧间隙的一半;e(t)为齿轮啮合的综合误差;Cm为齿轮副的啮合阻尼;Km为齿轮副之间的啮合刚度。

图1  齿轮副扭转模型

Fig. 1  Torsion model of spur gear pair

图1所示的齿轮副的扭转振动方程为

   (1)

式中:Ip和Ig分别为主动齿轮和从动齿轮的转动惯量;f(x,b)为齿轮副啮合线间位移函数。

1.1  齿轮啮合时变刚度计算和拟合

齿轮重合度是表示同时啮合的轮齿对数的参数,可通过改变齿轮的基本参数,改变齿轮的重合度。本文采用改变齿顶高系数方式增加齿轮的重合度,所采用的齿轮参数和重合度系数如表1所示。

建立表1参数的齿轮有限元模型,对其刚度进行计算,得到齿轮啮合刚度如图2所示,HCR齿轮和LCR齿轮的平均刚度分别为3.85×108 N/m和3.75×108 N/m。采用六阶Fourier级数拟合齿轮啮合刚度得到齿轮啮合刚度拟合曲线如图2所示,拟合方程的各次谐波参数如表2所示。

表1  齿轮传动系统传动齿轮基本参数

Table 1  Basic parameters of gears transmission system

图2  啮合刚度拟合曲线

Fig. 2  Fitted curves of meshing stiffness

表2  刚度的各次谐波参数

Table 2  Each harmonic parameters of meshing stiffness         107 N/m

齿轮副间的啮合力由构件在啮合线上的等效位移和啮合刚度确定,模型的啮合线上等效位移由2部分位移沿啮合线投影组成,即齿轮各种误差在啮合线上的投影和齿轮转动位移在啮合线上的投影。

由误差引起的在啮合线上的位移投影为

 (2)

式中:E为齿频误差;Eg和EP分别为齿轮Zg和齿轮Zp的安装误差;φg和φp分别为齿轮Zg和齿轮Zp初相位;ωg和ωp分别为齿轮Zg和齿轮Zp的转动角速度。

定义啮合线的等效位移x为

          (3)

齿轮系统中不可避免地存在齿侧间隙,间隙为非线性齿轮系统的强非线性因素,齿轮系统啮合线等效位移的间隙函数为

          (4)

1.2  方程的无量纲化

引入式(3)将式(1)简化为

    (5)

式中: ;C为齿轮副的啮合阻尼系数,;kave为平均刚度;

ζ为齿轮副的啮合阻尼比, 0.03≤ζ≤0.17。

由于式(7)中参数的数量级差距较大,引入无量纲时间,位移标称尺度bc,则无量纲位移、速度、加速度、无量纲频率分别表达为,其中。同时引入 ,则式(5)可以化简为

   (6)

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